Zgjidh {l}{-3x+2y=4}{x=2-y}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 2 y = 4 } \\ { x = 2 - y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$x+y=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-3x+2y=4$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-2y+4$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë -2y+4.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-4+2y}{3} në ekuacionin tjetër, x+y=2.

$$\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}+y=2$$

Mblidh \frac{2y}{3} me y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{4}{3}=2$$

Mblidh \frac{4}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

Shumëzo \frac{2}{3} herë 2.

$$x=\frac{4-4}{3}$$

Mblidh -\frac{4}{3} me \frac{4}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$x+y=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&-\frac{3}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$x+y=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Për ta bërë -3x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -3.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-3\times 2$$

Thjeshto.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-6$$

Zbrit -3x-3y=-6 nga -3x+2y=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x+2y+3y=4+6$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y+3y=4+6$$

Mblidh 2y me 3y.

$$5y=4+6$$

Mblidh 4 me 6.

$$5y=10$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x+y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+2=2$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=2$$