Zgjidh {l}{-2x-2y=4}{y=-x/5+2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 2 y = 4 } \\ { y = - \frac { x } { 5 } + 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{x}{5} në të dyja anët.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$5y+x=10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-2x-2y=4$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=2y+4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(2y+4\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 4+2y.

$$x=-y-2$$

Zëvendëso x me -y-2 në ekuacionin tjetër, x+5y=10.

$$-y-2+5y=10$$

Mblidh -y me 5y.

$$4y-2=10$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=12$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=-y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-3-2$$

Mblidh -2 me -3.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{x}{5} në të dyja anët.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$5y+x=10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 4-\frac{1}{4}\times 10\\\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-5,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{x}{5} në të dyja anët.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$5y+x=10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Për ta bërë -2x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -2.

$$-2x-2y=4,-2x-2\times 5y=-2\times 10$$

Thjeshto.

$$-2x-2y=4,-2x-10y=-20$$

Zbrit -2x-10y=-20 nga -2x-2y=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x-2y+10y=4+20$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2y+10y=4+20$$

Mblidh -2y me 10y.

$$8y=4+20$$

Mblidh 4 me 20.

$$8y=24$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x+5y=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+5\times 3=10$$

Shumëzo 5 herë 3.

$$x+15=10$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=3$$