Zgjidh {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-10x+20y=460$$

Zbrit 20y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-10x=-20y+460$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{10} herë -20y+460.

$$x=2y-46$$

Zëvendëso x me -46+2y në ekuacionin tjetër, 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

Shumëzo 30 herë -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

Mblidh 60y me 60y.

$$120y-1380=1620$$

Mblidh 1380 në të dyja anët e ekuacionit.

$$120y=3000$$

Pjesëto të dyja anët me 120.

$$y=25$$

Zëvendëso y me 25 në x=2y-46. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\times 25-46$$

Shumëzo 2 herë 25.

$$x=50-46$$

Mblidh -46 me 50.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=25$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=25$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Për ta bërë -10x të barabartë me 30x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 30 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Thjeshto.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

Zbrit -300x-600y=-16200 nga -300x+600y=13800 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

Mblidh -300x me 300x. Shprehjet -300x dhe 300x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$600y+600y=13800+16200$$

Mblidh 600y me 600y.

$$1200y=13800+16200$$

Mblidh 13800 me 16200.

$$1200y=30000$$

Pjesëto të dyja anët me 1200.

$$y=25$$

Zëvendëso y me 25 në 30x+60y=1620. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$30x+60\times 25=1620$$

Shumëzo 60 herë 25.

$$30x+1500=1620$$

Zbrit 1500 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$30x=120$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=25$$