Zgjidh {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-0.5x+0.1y=350$$

Zbrit \frac{y}{10} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Shumëzo të dyja anët me -2.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

Shumëzo -2 herë -\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

Zëvendëso x me \frac{y}{5}-700 në ekuacionin tjetër, 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

Shumëzo 0.4 herë \frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

Mblidh \frac{2y}{25} me \frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

Mblidh 280 në të dyja anët e ekuacionit.

$$0.28y=280$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 0.28, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1000$$

Zëvendëso y me 1000 në x=0.2y-700. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=0.2\times 1000-700$$

Shumëzo 0.2 herë 1000.

$$x=200-700$$

Mblidh -700 me 200.

$$x=-500$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-500,y=1000$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-500,y=1000$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Për ta bërë -\frac{x}{2} të barabartë me \frac{2x}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 0.4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -0.5.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Thjeshto.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Zbrit -0.2x-0.1y=0 nga -0.2x+0.04y=140 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

Mblidh -\frac{x}{5} me \frac{x}{5}. Shprehjet -\frac{x}{5} dhe \frac{x}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$0.04y+0.1y=140$$

Mblidh \frac{y}{25} me \frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 0.14, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1000$$

Zëvendëso y me 1000 në 0.4x+0.2y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

Shumëzo 0.2 herë 1000.

$$0.4x+200=0$$

Zbrit 200 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$0.4x=-200$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 0.4, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-500$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-500,y=1000$$