Zgjidh {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-1 me y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Zbrit xy nga të dyja anët.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Kombino xy dhe -xy për të marrë 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Kombino 5x dhe -2x për të marrë 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Kombino -2y dhe y për të marrë -y.

$$3x-y-10=-2$$

Shto 10 në të dyja anët.

$$3x-y=-2+10$$

Shto -2 dhe 10 për të marrë 8.

$$3x-y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y-3 me x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x+7 me y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Zbrit xy nga të dyja anët.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Kombino yx dhe -xy për të marrë 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Shto 4x në të dyja anët.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Kombino -3x dhe 4x për të marrë x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Kombino 4y dhe -7y për të marrë -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Shto 12 në të dyja anët.

$$-3y+x=-28+12$$

Shto -28 dhe 12 për të marrë -16.

$$-3y+x=-16$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-y=8$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=y+8$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{8+y}{3} në ekuacionin tjetër, x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

Mblidh \frac{y}{3} me -3y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

Zbrit \frac{8}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{8}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=7$$

Zëvendëso y me 7 në x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Mblidh \frac{8}{3} me \frac{7}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=7$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-1 me y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Zbrit xy nga të dyja anët.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Kombino xy dhe -xy për të marrë 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Kombino 5x dhe -2x për të marrë 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Kombino -2y dhe y për të marrë -y.

$$3x-y-10=-2$$

Shto 10 në të dyja anët.

$$3x-y=-2+10$$

Shto -2 dhe 10 për të marrë 8.

$$3x-y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y-3 me x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x+7 me y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Zbrit xy nga të dyja anët.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Kombino yx dhe -xy për të marrë 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Shto 4x në të dyja anët.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Kombino -3x dhe 4x për të marrë x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Kombino 4y dhe -7y për të marrë -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Shto 12 në të dyja anët.

$$-3y+x=-28+12$$

Shto -28 dhe 12 për të marrë -16.

$$-3y+x=-16$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=7$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-1 me y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Zbrit xy nga të dyja anët.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Kombino xy dhe -xy për të marrë 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Kombino 5x dhe -2x për të marrë 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Kombino -2y dhe y për të marrë -y.

$$3x-y-10=-2$$

Shto 10 në të dyja anët.

$$3x-y=-2+10$$

Shto -2 dhe 10 për të marrë 8.

$$3x-y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y-3 me x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x+7 me y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Zbrit xy nga të dyja anët.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Kombino yx dhe -xy për të marrë 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Shto 4x në të dyja anët.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Kombino -3x dhe 4x për të marrë x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Kombino 4y dhe -7y për të marrë -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Shto 12 në të dyja anët.

$$-3y+x=-28+12$$

Shto -28 dhe 12 për të marrë -16.

$$-3y+x=-16$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Për ta bërë 3x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

Thjeshto.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

Zbrit 3x-9y=-48 nga 3x-y=8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y+9y=8+48$$

Mblidh -y me 9y.

$$8y=8+48$$

Mblidh 8 me 48.

$$8y=56$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$y=7$$

Zëvendëso y me 7 në x-3y=-16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-3\times 7=-16$$

Shumëzo -3 herë 7.

$$x-21=-16$$

Mblidh 21 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=7$$