Zgjidh {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

Gjej A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar A+B me 3.

$$3A+3B-B=6$$

Kombino 3B dhe -B për të marrë 2B.

$$3A+2B=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Llogarit 3 në fuqi të 2 dhe merr 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2A+B me 9.

$$18A+9B-B=42$$

Kombino 9B dhe -B për të marrë 8B.

$$18A+8B=42$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej A duke veçuar A në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3A+2B=6$$

Zbrit 2B nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3A=-2B+6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

Zëvendëso A me -\frac{2B}{3}+2 në ekuacionin tjetër, 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

Shumëzo 18 herë -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

Mblidh -12B me 8B.

$$-4B+36=42$$

Zbrit 36 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4B=6$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Zëvendëso B me -\frac{3}{2} në A=-\frac{2}{3}B+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Shumëzo -\frac{2}{3} herë -\frac{3}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$A=1+2$$

Mblidh 2 me 1.

$$A=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar A+B me 3.

$$3A+3B-B=6$$

Kombino 3B dhe -B për të marrë 2B.

$$3A+2B=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Llogarit 3 në fuqi të 2 dhe merr 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2A+B me 9.

$$18A+9B-B=42$$

Kombino 9B dhe -B për të marrë 8B.

$$18A+8B=42$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës A dhe B.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar A+B me 3.

$$3A+3B-B=6$$

Kombino 3B dhe -B për të marrë 2B.

$$3A+2B=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Llogarit 3 në fuqi të 2 dhe merr 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2A+B me 9.

$$18A+9B-B=42$$

Kombino 9B dhe -B për të marrë 8B.

$$18A+8B=42$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Për ta bërë 3A të barabartë me 18A, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 18 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

Thjeshto.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

Zbrit 54A+24B=126 nga 54A+36B=108 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

Mblidh 54A me -54A. Shprehjet 54A dhe -54A thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$36B-24B=108-126$$

Mblidh 36B me -24B.

$$12B=108-126$$

Mblidh 108 me -126.

$$12B=-18$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Zëvendëso B me -\frac{3}{2} në 18A+8B=42. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

Shumëzo 8 herë -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$18A=54$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$A=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$