Zgjidh {l}{text{peoftheequation:}2+y=-x}{text{I}}{text{peoftheequation:}-10+y=x}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { pe of the equation: } 2 + y = - x } \\ { \text { I } } \\ { \text { pe of the equation: } - 10 + y = x } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-6$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$2+y+x=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y+x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$-10+y-x=0$$

Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$y-x=10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+x=-2,y-x=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+x=-2$$

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-x-2$$

Zëvendëso y me -x-2 në ekuacionin tjetër, y-x=10.

$$-x-2-x=10$$

Mblidh -x me -x.

$$-2x-2=10$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=12$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-6$$

Zëvendëso x me -6 në y=-x-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\left(-6\right)-2$$

Shumëzo -1 herë -6.

$$y=6-2$$

Mblidh -2 me 6.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=-6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$2+y+x=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y+x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$-10+y-x=0$$

Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$y-x=10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+x=-2,y-x=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\times 10\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=4,x=-6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$2+y+x=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$y+x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$-10+y-x=0$$

Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$y-x=10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+x=-2,y-x=10$$

Zbrit y-x=10 nga y+x=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+x+x=-2-10$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+x=-2-10$$

Mblidh x me x.

$$2x=-2-10$$

Mblidh -2 me -10.

$$2x=-12$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-6$$

Zëvendëso x me -6 në y-x=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\left(-6\right)=10$$

Shumëzo -1 herë -6.

$$y+6=10$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=-6$$