Zgjidh {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-2y=4$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=2y+4$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{4+2y}{5} në ekuacionin tjetër, x-y=-2.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

Mblidh \frac{2y}{5} me -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

Zbrit \frac{4}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{14}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{14}{3} në x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

Shumëzo \frac{2}{5} herë \frac{14}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

Mblidh \frac{4}{5} me \frac{28}{15} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Për ta bërë 5x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

Thjeshto.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

Zbrit 5x-5y=-10 nga 5x-2y=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

Mblidh 5x me -5x. Shprehjet 5x dhe -5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2y+5y=4+10$$

Mblidh -2y me 5y.

$$3y=4+10$$

Mblidh 4 me 10.

$$3y=14$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=\frac{14}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{14}{3} në x-y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

Mblidh \frac{14}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$