Zgjidh {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

Gjej y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Shumëzo 4 me 3 për të marrë 12.

$$y+2z=12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Shumëzo 2 me 7 për të marrë 14.

$$5y+14z=48$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+2z=12$$

Zbrit 2z nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2z+12$$

Zëvendëso y me -2z+12 në ekuacionin tjetër, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

Shumëzo 5 herë -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Mblidh -10z me 14z.

$$4z+60=48$$

Zbrit 60 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4z=-12$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$z=-3$$

Zëvendëso z me -3 në y=-2z+12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

Shumëzo -2 herë -3.

$$y=6+12$$

Mblidh 12 me 6.

$$y=18$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=18,z=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Shumëzo 4 me 3 për të marrë 12.

$$y+2z=12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Shumëzo 2 me 7 për të marrë 14.

$$5y+14z=48$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe z.

$$y=18,z=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Shumëzo 4 me 3 për të marrë 12.

$$y+2z=12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Shumëzo 2 me 7 për të marrë 14.

$$5y+14z=48$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Për ta bërë y të barabartë me 5y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Thjeshto.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Zbrit 5y+14z=48 nga 5y+10z=60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Mblidh 5y me -5y. Shprehjet 5y dhe -5y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$10z-14z=60-48$$

Mblidh 10z me -14z.

$$-4z=60-48$$

Mblidh 60 me -48.

$$-4z=12$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$z=-3$$

Zëvendëso z me -3 në 5y+14z=48. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

Shumëzo 14 herë -3.

$$5y-42=48$$

Mblidh 42 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=90$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=18$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=18,z=-3$$