Zgjidh {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me \frac{4}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2\left(3x-4\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2y+2-3x=-4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$2y-3x=-4-2$$

Zbrit 2 nga -4 për të marrë -6.

$$2y-3x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me -\frac{11}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$5x+y-3x=11$$

Kombino 5x dhe -3x për të marrë 2x.

$$2x+y=11$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2y-3x=-6$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=3x-6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Zëvendëso y me \frac{3x}{2}-3 në ekuacionin tjetër, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Mblidh \frac{3x}{2} me 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y=\frac{3}{2}x-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë 4.

$$y=6-3$$

Mblidh -3 me 6.

$$y=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me \frac{4}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2\left(3x-4\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2y+2-3x=-4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$2y-3x=-4-2$$

Zbrit 2 nga -4 për të marrë -6.

$$2y-3x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me -\frac{11}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$5x+y-3x=11$$

Kombino 5x dhe -3x për të marrë 2x.

$$2x+y=11$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=3,x=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me \frac{4}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2\left(3x-4\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2y+2-3x=-4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$2y-3x=-4-2$$

Zbrit 2 nga -4 për të marrë -6.

$$2y-3x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me -\frac{11}{3} meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$5x+y-3x=11$$

Kombino 5x dhe -3x për të marrë 2x.

$$2x+y=11$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Për ta bërë 2y të barabartë me y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Thjeshto.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Zbrit 2y+4x=22 nga 2y-3x=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3x-4x=-6-22$$

Mblidh -3x me -4x.

$$-7x=-6-22$$

Mblidh -6 me -22.

$$-7x=-28$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y+2x=11. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+2\times 4=11$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$y+8=11$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=4$$