Zgjidh {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=13$$

$$y=11$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$2x-6-5y=-35$$

Shto 6 në të dyja anët.

$$2x-5y=-35+6$$

Shto -35 dhe 6 për të marrë -29.

$$2x-5y=-29$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 13y nga të dyja anët.

$$11x-13y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-5y=-29$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=5y-29$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{5y-29}{2} në ekuacionin tjetër, 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

Shumëzo 11 herë \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

Mblidh \frac{55y}{2} me -13y.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

Mblidh \frac{319}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{29}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=11$$

Zëvendëso y me 11 në x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

Shumëzo \frac{5}{2} herë 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

Mblidh -\frac{29}{2} me \frac{55}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=13$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=13,y=11$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$2x-6-5y=-35$$

Shto 6 në të dyja anët.

$$2x-5y=-35+6$$

Shto -35 dhe 6 për të marrë -29.

$$2x-5y=-29$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 13y nga të dyja anët.

$$11x-13y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=13,y=11$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$2x-6-5y=-35$$

Shto 6 në të dyja anët.

$$2x-5y=-35+6$$

Shto -35 dhe 6 për të marrë -29.

$$2x-5y=-29$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 13y nga të dyja anët.

$$11x-13y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 11x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 11 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

Thjeshto.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

Zbrit 22x-26y=0 nga 22x-55y=-319 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

Mblidh 22x me -22x. Shprehjet 22x dhe -22x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-55y+26y=-319$$

Mblidh -55y me 26y.

$$-29y=-319$$

Pjesëto të dyja anët me -29.

$$y=11$$

Zëvendëso y me 11 në 11x-13y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$11x-13\times 11=0$$

Shumëzo -13 herë 11.

$$11x-143=0$$

Mblidh 143 në të dyja anët e ekuacionit.

$$11x=143$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$x=13$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=13,y=11$$