Zgjidh {l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 92.

$$x+92y=5336$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 79.

$$79x-y=4503$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+92y=5336$$

Zbrit 92y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-92y+5336$$

Zëvendëso x me -92y+5336 në ekuacionin tjetër, 79x-y=4503.

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

Shumëzo 79 herë -92y+5336.

$$-7268y+421544-y=4503$$

Mblidh -7268y me -y.

$$-7269y+421544=4503$$

Zbrit 421544 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7269y=-417041$$

Pjesëto të dyja anët me -7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Zëvendëso y me \frac{417041}{7269} në x=-92y+5336. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

Shumëzo -92 herë \frac{417041}{7269}.

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

Mblidh 5336 me -\frac{38367772}{7269}.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 92.

$$x+92y=5336$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 79.

$$79x-y=4503$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 92.

$$x+92y=5336$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 79.

$$79x-y=4503$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Për ta bërë x të barabartë me 79x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 79 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

Thjeshto.

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

Zbrit 79x-y=4503 nga 79x+7268y=421544 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

Mblidh 79x me -79x. Shprehjet 79x dhe -79x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$7268y+y=421544-4503$$

Mblidh 7268y me y.

$$7269y=421544-4503$$

Mblidh 421544 me -4503.

$$7269y=417041$$

Pjesëto të dyja anët me 7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Zëvendëso y me \frac{417041}{7269} në 79x-y=4503. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

Mblidh \frac{417041}{7269} në të dyja anët e ekuacionit.

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

Pjesëto të dyja anët me 79.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$