Zgjidh {l}{x/4-y/4=-1}{x+4y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 4 } = - 1 } \\ { x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$x-y=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=-4$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y-4$$

Zëvendëso x me y-4 në ekuacionin tjetër, x+4y=-9.

$$y-4+4y=-9$$

Mblidh y me 4y.

$$5y-4=-9$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=-5$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x=y-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-1-4$$

Mblidh -4 me -1.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$x-y=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-1\right)}&\frac{1}{4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\left(-9\right)\\-\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-5,y=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$x-y=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

Zbrit x+4y=-9 nga x-y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x-y-4y=-4+9$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y-4y=-4+9$$

Mblidh -y me -4y.

$$-5y=-4+9$$

Mblidh -4 me 9.

$$-5y=5$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x+4y=-9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+4\left(-1\right)=-9$$

Shumëzo 4 herë -1.

$$x-4=-9$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-1$$