Zgjidh {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 36.

$$x-36y=756$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20x-y=320$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-36y=756$$

Mblidh 36y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=36y+756$$

Zëvendëso x me 756+36y në ekuacionin tjetër, 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

Shumëzo 20 herë 756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

Mblidh 720y me -y.

$$719y+15120=320$$

Zbrit 15120 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$719y=-14800$$

Pjesëto të dyja anët me 719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Zëvendëso y me -\frac{14800}{719} në x=36y+756. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

Shumëzo 36 herë -\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

Mblidh 756 me -\frac{532800}{719}.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 36.

$$x-36y=756$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20x-y=320$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 36.

$$x-36y=756$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20x-y=320$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Për ta bërë x të barabartë me 20x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 20 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

Thjeshto.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

Zbrit 20x-y=320 nga 20x-720y=15120 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

Mblidh 20x me -20x. Shprehjet 20x dhe -20x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-720y+y=15120-320$$

Mblidh -720y me y.

$$-719y=15120-320$$

Mblidh 15120 me -320.

$$-719y=14800$$

Pjesëto të dyja anët me -719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Zëvendëso y me -\frac{14800}{719} në 20x-y=320. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

Zbrit \frac{14800}{719} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$