Zgjidh {l}{x/33-y=26}{x-y/88=66}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 33 } - y = 26 } \\ { x - \frac { y } { 88 } = 66 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{190806}{2903} = 65\frac{2111}{2903} \approx 65.727178781$$

$$y = -\frac{69696}{2903} = -24\frac{24}{2903} \approx -24.00826731$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 33.

$$x-33y=858$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 88.

$$88x-y=5808$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-33y=858$$

Mblidh 33y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=33y+858$$

Zëvendëso x me 858+33y në ekuacionin tjetër, 88x-y=5808.

$$88\left(33y+858\right)-y=5808$$

Shumëzo 88 herë 858+33y.

$$2904y+75504-y=5808$$

Mblidh 2904y me -y.

$$2903y+75504=5808$$

Zbrit 75504 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2903y=-69696$$

Pjesëto të dyja anët me 2903.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

Zëvendëso y me -\frac{69696}{2903} në x=33y+858. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=33\left(-\frac{69696}{2903}\right)+858$$

Shumëzo 33 herë -\frac{69696}{2903}.

$$x=-\frac{2299968}{2903}+858$$

Mblidh 858 me -\frac{2299968}{2903}.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 33.

$$x-33y=858$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 88.

$$88x-y=5808$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}&-\frac{-33}{-1-\left(-33\times 88\right)}\\-\frac{88}{-1-\left(-33\times 88\right)}&\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}&\frac{33}{2903}\\-\frac{88}{2903}&\frac{1}{2903}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}\times 858+\frac{33}{2903}\times 5808\\-\frac{88}{2903}\times 858+\frac{1}{2903}\times 5808\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190806}{2903}\\-\frac{69696}{2903}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 33.

$$x-33y=858$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 88.

$$88x-y=5808$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

Për ta bërë x të barabartë me 88x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 88 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$88x+88\left(-33\right)y=88\times 858,88x-y=5808$$

Thjeshto.

$$88x-2904y=75504,88x-y=5808$$

Zbrit 88x-y=5808 nga 88x-2904y=75504 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$88x-88x-2904y+y=75504-5808$$

Mblidh 88x me -88x. Shprehjet 88x dhe -88x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2904y+y=75504-5808$$

Mblidh -2904y me y.

$$-2903y=75504-5808$$

Mblidh 75504 me -5808.

$$-2903y=69696$$

Pjesëto të dyja anët me -2903.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

Zëvendëso y me -\frac{69696}{2903} në 88x-y=5808. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$88x-\left(-\frac{69696}{2903}\right)=5808$$

Zbrit \frac{69696}{2903} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$88x=\frac{16790928}{2903}$$

Pjesëto të dyja anët me 88.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$