Zgjidh {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x-3y=48$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3x+5y=15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=48$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+48$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2}+24 në ekuacionin tjetër, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Shumëzo 3 herë \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Mblidh \frac{9y}{2} me 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Zbrit 72 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{19}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-6$$

Zëvendëso y me -6 në x=\frac{3}{2}y+24. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -6.

$$x=-9+24$$

Mblidh 24 me -9.

$$x=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=15,y=-6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x-3y=48$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3x+5y=15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=15,y=-6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x-3y=48$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3x+5y=15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Thjeshto.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Zbrit 6x+10y=30 nga 6x-9y=144 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y-10y=144-30$$

Mblidh -9y me -10y.

$$-19y=144-30$$

Mblidh 144 me -30.

$$-19y=114$$

Pjesëto të dyja anët me -19.

$$y=-6$$

Zëvendëso y me -6 në 3x+5y=15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Shumëzo 5 herë -6.

$$3x-30=15$$

Mblidh 30 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=45$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=15,y=-6$$