Zgjidh {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,5.

$$5x+3y=105$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 30, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Shumëzo -6 me 2 për të marrë -12.

$$5x-12y=-120$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x+3y=105$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-3y+105$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{5}+21 në ekuacionin tjetër, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

Shumëzo 5 herë -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

Mblidh -3y me -12y.

$$-15y+105=-120$$

Zbrit 105 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-15y=-225$$

Pjesëto të dyja anët me -15.

$$y=15$$

Zëvendëso y me 15 në x=-\frac{3}{5}y+21. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

Shumëzo -\frac{3}{5} herë 15.

$$x=-9+21$$

Mblidh 21 me -9.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=15$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,5.

$$5x+3y=105$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 30, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Shumëzo -6 me 2 për të marrë -12.

$$5x-12y=-120$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=12,y=15$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,5.

$$5x+3y=105$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 30, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Shumëzo -6 me 2 për të marrë -12.

$$5x-12y=-120$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Zbrit 5x-12y=-120 nga 5x+3y=105 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Mblidh 5x me -5x. Shprehjet 5x dhe -5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y+12y=105+120$$

Mblidh 3y me 12y.

$$15y=105+120$$

Mblidh 105 me 120.

$$15y=225$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$y=15$$

Zëvendëso y me 15 në 5x-12y=-120. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x-12\times 15=-120$$

Shumëzo -12 herë 15.

$$5x-180=-120$$

Mblidh 180 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=60$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=15$$