Zgjidh {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 36, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

Gjej x në 3x+4y=1 duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+4y=1$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-4y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Zëvendëso x me -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} në ekuacionin tjetër, 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

Shumëzo 4 herë \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Mblidh 9y^{2} me \frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Zbrit 36 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}, b me 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 dhe c me -\frac{320}{9} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Ngri në fuqi të dytë 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Shumëzo -4 herë 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Shumëzo -\frac{580}{9} herë -\frac{320}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Mblidh \frac{1024}{81} me \frac{185600}{81} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Gjej rrënjën katrore të 2304.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

E kundërta e 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 është \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Shumëzo 2 herë 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} kur ± është plus. Mblidh \frac{32}{9} me 48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Pjesëto \frac{464}{9} me \frac{290}{9} duke shumëzuar \frac{464}{9} me të anasjelltën e \frac{290}{9}.

$$y=\frac{8}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} kur ± është minus. Zbrit 48 nga \frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Pjesëto -\frac{400}{9} me \frac{290}{9} duke shumëzuar -\frac{400}{9} me të anasjelltën e \frac{290}{9}.

$$y=-\frac{40}{29}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për y: \frac{8}{5} dhe -\frac{40}{29}. Zëvendëso y me \frac{8}{5} në ekuacionin x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë \frac{8}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

Mblidh -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} me \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Tani zëvendëso y me -\frac{40}{29} në ekuacionin x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë -\frac{40}{29} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

Mblidh -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) me \frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$