Zgjidh {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Zbrit 20 nga 20 për të marrë 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$10x+4y-5x=20$$

Kombino 10x dhe -5x për të marrë 5x.

$$5x+4y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Shto -1 dhe 9 për të marrë 8.

$$3x+3y=x+8$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$3x+3y-x=8$$

Kombino 3x dhe -x për të marrë 2x.

$$2x+3y=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x+4y=20$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-4y+20$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Zëvendëso x me -\frac{4y}{5}+4 në ekuacionin tjetër, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Shumëzo 2 herë -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Mblidh -\frac{8y}{5} me 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{5}y=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=-\frac{4}{5}y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Zbrit 20 nga 20 për të marrë 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$10x+4y-5x=20$$

Kombino 10x dhe -5x për të marrë 5x.

$$5x+4y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Shto -1 dhe 9 për të marrë 8.

$$3x+3y=x+8$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$3x+3y-x=8$$

Kombino 3x dhe -x për të marrë 2x.

$$2x+3y=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Zbrit 20 nga 20 për të marrë 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$10x+4y-5x=20$$

Kombino 10x dhe -5x për të marrë 5x.

$$5x+4y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Shto -1 dhe 9 për të marrë 8.

$$3x+3y=x+8$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$3x+3y-x=8$$

Kombino 3x dhe -x për të marrë 2x.

$$2x+3y=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Thjeshto.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Zbrit 10x+15y=40 nga 10x+8y=40 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Mblidh 10x me -10x. Shprehjet 10x dhe -10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$8y-15y=40-40$$

Mblidh 8y me -15y.

$$-7y=40-40$$

Mblidh 40 me -40.

$$-7y=0$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në 2x+3y=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=0$$