Zgjidh {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Kombino 3y dhe 2y për të marrë 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Zbrit 2 nga -3 për të marrë -5.

$$3x+5y-5=54$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$3x+5y=54+5$$

Shto 54 dhe 5 për të marrë 59.

$$3x+5y=59$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Shto -2 dhe 3 për të marrë 1.

$$2x+1+3y=48$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$2x+3y=48-1$$

Zbrit 1 nga 48 për të marrë 47.

$$2x+3y=47$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+5y=59$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-5y+59$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-5y+59}{3} në ekuacionin tjetër, 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

Shumëzo 2 herë \frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Mblidh -\frac{10y}{3} me 3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

Zbrit \frac{118}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me -3.

$$y=-23$$

Zëvendëso y me -23 në x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

Shumëzo -\frac{5}{3} herë -23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Mblidh \frac{59}{3} me \frac{115}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=58$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=58,y=-23$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Kombino 3y dhe 2y për të marrë 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Zbrit 2 nga -3 për të marrë -5.

$$3x+5y-5=54$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$3x+5y=54+5$$

Shto 54 dhe 5 për të marrë 59.

$$3x+5y=59$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Shto -2 dhe 3 për të marrë 1.

$$2x+1+3y=48$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$2x+3y=48-1$$

Zbrit 1 nga 48 për të marrë 47.

$$2x+3y=47$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=58,y=-23$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Kombino 3y dhe 2y për të marrë 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Zbrit 2 nga -3 për të marrë -5.

$$3x+5y-5=54$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$3x+5y=54+5$$

Shto 54 dhe 5 për të marrë 59.

$$3x+5y=59$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Shto -2 dhe 3 për të marrë 1.

$$2x+1+3y=48$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$2x+3y=48-1$$

Zbrit 1 nga 48 për të marrë 47.

$$2x+3y=47$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Thjeshto.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

Zbrit 6x+9y=141 nga 6x+10y=118 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$10y-9y=118-141$$

Mblidh 10y me -9y.

$$y=118-141$$

Mblidh 118 me -141.

$$y=-23$$

Zëvendëso y me -23 në 2x+3y=47. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

Shumëzo 3 herë -23.

$$2x-69=47$$

Mblidh 69 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=116$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=58$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=58,y=-23$$