Zgjidh {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me -2 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y+2\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+3-2y=4$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x-2y=4-3$$

Zbrit 3 nga 4 për të marrë 1.

$$3x-2y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y-1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2.

$$3x-6=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-6-y=-1$$

Shto 6 në të dyja anët.

$$3x-y=-1+6$$

Shto -1 dhe 6 për të marrë 5.

$$3x-y=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-2y=1$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=2y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{2y+1}{3} në ekuacionin tjetër, 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

Shumëzo 3 herë \frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

Mblidh 2y me -y.

$$y+1=5$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

Shumëzo \frac{2}{3} herë 4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Mblidh \frac{1}{3} me \frac{8}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me -2 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y+2\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+3-2y=4$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x-2y=4-3$$

Zbrit 3 nga 4 për të marrë 1.

$$3x-2y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y-1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2.

$$3x-6=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-6-y=-1$$

Shto 6 në të dyja anët.

$$3x-y=-1+6$$

Shto -1 dhe 6 për të marrë 5.

$$3x-y=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me -2 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y+2\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+3-2y=4$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x-2y=4-3$$

Zbrit 3 nga 4 për të marrë 1.

$$3x-2y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y-1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2.

$$3x-6=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-6-y=-1$$

Shto 6 në të dyja anët.

$$3x-y=-1+6$$

Shto -1 dhe 6 për të marrë 5.

$$3x-y=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Zbrit 3x-y=5 nga 3x-2y=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2y+y=1-5$$

Mblidh -2y me y.

$$-y=1-5$$

Mblidh 1 me -5.

$$-y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në 3x-y=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-4=5$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=4$$