Zgjidh {l}{x+1/10=y-4/5}{x-4/5=y-2/10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { 10 } = \frac { y - 4 } { 5 } } \\ { \frac { x - 4 } { 5 } = \frac { y - 2 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=7$$

$$y=8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 10,5.

$$x+1=2\left(y-4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-4.

$$x+1=2y-8$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x+1-2y=-8$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$x-2y=-8-1$$

Zbrit 1 nga -8 për të marrë -9.

$$x-2y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$2\left(x-4\right)=y-2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-4.

$$2x-8=y-2$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-8-y=-2$$

Shto 8 në të dyja anët.

$$2x-y=-2+8$$

Shto -2 dhe 8 për të marrë 6.

$$2x-y=6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-2y=-9,2x-y=6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-2y=-9$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2y-9$$

Zëvendëso x me 2y-9 në ekuacionin tjetër, 2x-y=6.

$$2\left(2y-9\right)-y=6$$

Shumëzo 2 herë 2y-9.

$$4y-18-y=6$$

Mblidh 4y me -y.

$$3y-18=6$$

Mblidh 18 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=24$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=8$$

Zëvendëso y me 8 në x=2y-9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\times 8-9$$

Shumëzo 2 herë 8.

$$x=16-9$$

Mblidh -9 me 16.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=8$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 10,5.

$$x+1=2\left(y-4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-4.

$$x+1=2y-8$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x+1-2y=-8$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$x-2y=-8-1$$

Zbrit 1 nga -8 për të marrë -9.

$$x-2y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$2\left(x-4\right)=y-2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-4.

$$2x-8=y-2$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-8-y=-2$$

Shto 8 në të dyja anët.

$$2x-y=-2+8$$

Shto -2 dhe 8 për të marrë 6.

$$2x-y=6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-2y=-9,2x-y=6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{2}{3}\left(-9\right)+\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=7,y=8$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 10,5.

$$x+1=2\left(y-4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-4.

$$x+1=2y-8$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x+1-2y=-8$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$x-2y=-8-1$$

Zbrit 1 nga -8 për të marrë -9.

$$x-2y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$2\left(x-4\right)=y-2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-4.

$$2x-8=y-2$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-8-y=-2$$

Shto 8 në të dyja anët.

$$2x-y=-2+8$$

Shto -2 dhe 8 për të marrë 6.

$$2x-y=6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-2y=-9,2x-y=6$$

Për ta bërë x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-9\right),2x-y=6$$

Thjeshto.

$$2x-4y=-18,2x-y=6$$

Zbrit 2x-y=6 nga 2x-4y=-18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x-4y+y=-18-6$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4y+y=-18-6$$

Mblidh -4y me y.

$$-3y=-18-6$$

Mblidh -18 me -6.

$$-3y=-24$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=8$$

Zëvendëso y me 8 në 2x-y=6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-8=6$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=14$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=8$$