Zgjidh {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Gjej k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja L nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me L.

$$k=100L$$

Zëvendëso k me 100L në ekuacionin tjetër, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Shumëzo 5 herë 100L.

$$500L+50L=110$$

Mblidh 500L me 50L.

$$550L=110$$

Pjesëto të dyja anët me 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Zëvendëso L me \frac{1}{5} në k=100L. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh k menjëherë.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Shumëzo 100 herë \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja L nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me L.

$$k=100L$$

Zbrit 100L nga të dyja anët.

$$k-100L=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës k dhe L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja L nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me L.

$$k=100L$$

Zbrit 100L nga të dyja anët.

$$k-100L=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Për ta bërë k të barabartë me 5k, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Thjeshto.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Zbrit 5k+50L=110 nga 5k-500L=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Mblidh 5k me -5k. Shprehjet 5k dhe -5k thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-500L-50L=-110$$

Mblidh -500L me -50L.

$$-550L=-110$$

Pjesëto të dyja anët me -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Zëvendëso L me \frac{1}{5} në 5k+50L=110. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh k menjëherë.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Shumëzo 50 herë \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Zbrit 10 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5k=100$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$k=20$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$