Zgjidh {l}{3a+1/4-4b-1/7=1}{a+1/3-b+2/4=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 a + 1 } { 4 } - \frac { 4 b - 1 } { 7 } = 1 } \\ { \frac { a + 1 } { 3 } - \frac { b + 2 } { 4 } = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=173$$

$$b=226$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 28, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7 me 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Shto 7 dhe 4 për të marrë 11.

$$21a+11-16b=28$$

Zbrit 11 nga të dyja anët.

$$21a-16b=28-11$$

Zbrit 11 nga 28 për të marrë 17.

$$21a-16b=17$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Zbrit 6 nga 4 për të marrë -2.

$$4a-2-3b=12$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$4a-3b=12+2$$

Shto 12 dhe 2 për të marrë 14.

$$4a-3b=14$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$21a-16b=17$$

Mblidh 16b në të dyja anët e ekuacionit.

$$21a=16b+17$$

Pjesëto të dyja anët me 21.

$$a=\frac{1}{21}\left(16b+17\right)$$

Shumëzo \frac{1}{21} herë 16b+17.

$$a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}$$

Zëvendëso a me \frac{16b+17}{21} në ekuacionin tjetër, 4a-3b=14.

$$4\left(\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}\right)-3b=14$$

Shumëzo 4 herë \frac{16b+17}{21}.

$$\frac{64}{21}b+\frac{68}{21}-3b=14$$

Mblidh \frac{64b}{21} me -3b.

$$\frac{1}{21}b+\frac{68}{21}=14$$

Zbrit \frac{68}{21} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{21}b=\frac{226}{21}$$

Shumëzo të dyja anët me 21.

$$b=226$$

Zëvendëso b me 226 në a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=\frac{16}{21}\times 226+\frac{17}{21}$$

Shumëzo \frac{16}{21} herë 226.

$$a=\frac{3616+17}{21}$$

Mblidh \frac{17}{21} me \frac{3616}{21} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a=173$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=173,b=226$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 28, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7 me 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Shto 7 dhe 4 për të marrë 11.

$$21a+11-16b=28$$

Zbrit 11 nga të dyja anët.

$$21a-16b=28-11$$

Zbrit 11 nga 28 për të marrë 17.

$$21a-16b=17$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Zbrit 6 nga 4 për të marrë -2.

$$4a-2-3b=12$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$4a-3b=12+2$$

Shto 12 dhe 2 për të marrë 14.

$$4a-3b=14$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&-\frac{-16}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\\-\frac{4}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&\frac{21}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&16\\-4&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 17+16\times 14\\-4\times 17+21\times 14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}173\\226\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=173,b=226$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 28, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7 me 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Shto 7 dhe 4 për të marrë 11.

$$21a+11-16b=28$$

Zbrit 11 nga të dyja anët.

$$21a-16b=28-11$$

Zbrit 11 nga 28 për të marrë 17.

$$21a-16b=17$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Zbrit 6 nga 4 për të marrë -2.

$$4a-2-3b=12$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$4a-3b=12+2$$

Shto 12 dhe 2 për të marrë 14.

$$4a-3b=14$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Për ta bërë 21a të barabartë me 4a, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 21.

$$4\times 21a+4\left(-16\right)b=4\times 17,21\times 4a+21\left(-3\right)b=21\times 14$$

Thjeshto.

$$84a-64b=68,84a-63b=294$$

Zbrit 84a-63b=294 nga 84a-64b=68 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$84a-84a-64b+63b=68-294$$

Mblidh 84a me -84a. Shprehjet 84a dhe -84a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-64b+63b=68-294$$

Mblidh -64b me 63b.

$$-b=68-294$$

Mblidh 68 me -294.

$$-b=-226$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$b=226$$

Zëvendëso b me 226 në 4a-3b=14. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$4a-3\times 226=14$$

Shumëzo -3 herë 226.

$$4a-678=14$$

Mblidh 678 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4a=692$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$a=173$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=173,b=226$$