Zgjidh {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Për të gjetur të kundërtën e 1+2y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Kombino 6x dhe -8x për të marrë -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Shto 20y në të dyja anët.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Kombino -2y dhe 20y për të marrë 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-2x+18y=-21+1$$

Shto -21 dhe 1 për të marrë -20.

$$-2x+18y=-20$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-2x+18y=-20$$

Zbrit 18y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-18y-20$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -18y-20.

$$x=9y+10$$

Zëvendëso x me 9y+10 në ekuacionin tjetër, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Mblidh \frac{9y}{5} me \frac{2y}{7}.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{73}{35}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x=9y+10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

Shumëzo 9 herë -1.

$$x=-9+10$$

Mblidh 10 me -9.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Për të gjetur të kundërtën e 1+2y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Kombino 6x dhe -8x për të marrë -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Shto 20y në të dyja anët.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Kombino -2y dhe 20y për të marrë 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-2x+18y=-21+1$$

Shto -21 dhe 1 për të marrë -20.

$$-2x+18y=-20$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Për të gjetur të kundërtën e 1+2y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Kombino 6x dhe -8x për të marrë -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Shto 20y në të dyja anët.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Kombino -2y dhe 20y për të marrë 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-2x+18y=-21+1$$

Shto -21 dhe 1 për të marrë -20.

$$-2x+18y=-20$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Për ta bërë -2x të barabartë me \frac{x}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{1}{5} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -2.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

Thjeshto.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

Zbrit -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} nga -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Mblidh -\frac{2x}{5} me \frac{2x}{5}. Shprehjet -\frac{2x}{5} dhe \frac{2x}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Mblidh \frac{18y}{5} me \frac{4y}{7}.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

Mblidh -4 me -\frac{6}{35}.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{146}{35}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

Shumëzo \frac{2}{7} herë -1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

Mblidh \frac{2}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

Shumëzo të dyja anët me 5.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$