Zgjidh {l}{1/2x+y=36}{18x+18y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x + y = 36 } \\ { 18 x + 18 y = 18 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-70$$

$$y=71$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$\frac{1}{2}x+y=36,18x+18y=18$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\frac{1}{2}x+y=36$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{2}x=-y+36$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$x=2\left(-y+36\right)$$

Shumëzo 2 herë -y+36.

$$x=-2y+72$$

Zëvendëso x me -2y+72 në ekuacionin tjetër, 18x+18y=18.

$$18\left(-2y+72\right)+18y=18$$

Shumëzo 18 herë -2y+72.

$$-36y+1296+18y=18$$

Mblidh -36y me 18y.

$$-18y+1296=18$$

Zbrit 1296 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-18y=-1278$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$y=71$$

Zëvendëso y me 71 në x=-2y+72. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times 71+72$$

Shumëzo -2 herë 71.

$$x=-142+72$$

Mblidh 72 me -142.

$$x=-70$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-70,y=71$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$\frac{1}{2}x+y=36,18x+18y=18$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\18&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{\frac{1}{2}\times 18-18}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 18-18}\\-\frac{18}{\frac{1}{2}\times 18-18}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 18-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{9}\\2&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 36+\frac{1}{9}\times 18\\2\times 36-\frac{1}{18}\times 18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\71\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-70,y=71$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$\frac{1}{2}x+y=36,18x+18y=18$$

Për ta bërë \frac{x}{2} të barabartë me 18x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 18 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me \frac{1}{2}.

$$18\times \frac{1}{2}x+18y=18\times 36,\frac{1}{2}\times 18x+\frac{1}{2}\times 18y=\frac{1}{2}\times 18$$

Thjeshto.

$$9x+18y=648,9x+9y=9$$

Zbrit 9x+9y=9 nga 9x+18y=648 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$9x-9x+18y-9y=648-9$$

Mblidh 9x me -9x. Shprehjet 9x dhe -9x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$18y-9y=648-9$$

Mblidh 18y me -9y.

$$9y=648-9$$

Mblidh 648 me -9.

$$9y=639$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$y=71$$

Zëvendëso y me 71 në 18x+18y=18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$18x+18\times 71=18$$

Shumëzo 18 herë 71.

$$18x+1278=18$$

Zbrit 1278 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$18x=-1260$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$x=-70$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-70,y=71$$