Zgjidh {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 15 nga të dyja anët.

$$y-3x=10-15$$

Zbrit 15 nga 10 për të marrë -5.

$$y-3x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$6-4x-y=0$$

Zbrit 6 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-4x-y=-6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-3x=-5$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3x-5$$

Zëvendëso y me 3x-5 në ekuacionin tjetër, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

Shumëzo -1 herë 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

Mblidh -3x me -4x.

$$-7x+5=-6$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7x=-11$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{11}{7} në y=3x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

Shumëzo 3 herë \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Mblidh -5 me \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 15 nga të dyja anët.

$$y-3x=10-15$$

Zbrit 15 nga 10 për të marrë -5.

$$y-3x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$6-4x-y=0$$

Zbrit 6 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-4x-y=-6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 15 nga të dyja anët.

$$y-3x=10-15$$

Zbrit 15 nga 10 për të marrë -5.

$$y-3x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$6-4x-y=0$$

Zbrit 6 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-4x-y=-6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Për ta bërë y të barabartë me -y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Thjeshto.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Zbrit -y-4x=-6 nga -y+3x=5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x+4x=5+6$$

Mblidh 3x me 4x.

$$7x=5+6$$

Mblidh 5 me 6.

$$7x=11$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{11}{7} në -y-4x=-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

Shumëzo -4 herë \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Mblidh \frac{44}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=\frac{2}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$