Zgjidh {c}{y=x+6}{y=1/2x+4}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-4$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-x=6$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=x+6$$

Zëvendëso y me x+6 në ekuacionin tjetër, y-\frac{1}{2}x=4.

$$x+6-\frac{1}{2}x=4$$

Mblidh x me -\frac{x}{2}.

$$\frac{1}{2}x+6=4$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{2}x=-2$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në y=x+6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-4+6$$

Mblidh 6 me -4.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 4\\-2\times 6+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=2,x=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-x=6,y-\frac{1}{2}x=4$$

Zbrit y-\frac{1}{2}x=4 nga y-x=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-x+\frac{1}{2}x=6-4$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-x+\frac{1}{2}x=6-4$$

Mblidh -x me \frac{x}{2}.

$$-\frac{1}{2}x=6-4$$

Mblidh 6 me -4.

$$-\frac{1}{2}x=2$$

Shumëzo të dyja anët me -2.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në y-\frac{1}{2}x=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{1}{2}\left(-4\right)=4$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -4.

$$y+2=4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=-4$$