Zgjidh {c}{y=2x}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 2 x } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=3$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=0,3y+4x=30$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=0$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x$$

Zëvendëso y me 2x në ekuacionin tjetër, 3y+4x=30.

$$3\times 2x+4x=30$$

Shumëzo 3 herë 2x.

$$6x+4x=30$$

Mblidh 6x me 4x.

$$10x=30$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y=2x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\times 3$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=0,3y+4x=30$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{10}\times 30\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=6,x=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=0,3y+4x=30$$

Për ta bërë y të barabartë me 3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=0,3y+4x=30$$

Thjeshto.

$$3y-6x=0,3y+4x=30$$

Zbrit 3y+4x=30 nga 3y-6x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3y-3y-6x-4x=-30$$

Mblidh 3y me -3y. Shprehjet 3y dhe -3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6x-4x=-30$$

Mblidh -6x me -4x.

$$-10x=-30$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në 3y+4x=30. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$3y+4\times 3=30$$

Shumëzo 4 herë 3.

$$3y+12=30$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=18$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=3$$