Zgjidh {c}{y=-3x+1}{y=x-7}

$$\left. \begin{array} { c } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = x - 7 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+3x=1$$

Zbrit 3x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-3x+1$$

Zëvendëso y me -3x+1 në ekuacionin tjetër, y-x=-7.

$$-3x+1-x=-7$$

Mblidh -3x me -x.

$$-4x+1=-7$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=-8$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=-3x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-3\times 2+1$$

Shumëzo -3 herë 2.

$$y=-6+1$$

Mblidh 1 me -6.

$$y=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-5,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-5,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Zbrit y-x=-7 nga y+3x=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+3x+x=1+7$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x+x=1+7$$

Mblidh 3x me x.

$$4x=1+7$$

Mblidh 1 me 7.

$$4x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y-x=-7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2=-7$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-5,x=2$$