Zgjidh {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=37$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+3$$

Zëvendëso x me y+3 në ekuacionin tjetër, 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Shumëzo 4 herë y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Mblidh 4y me -3y.

$$y+12=37$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=25$$

Zëvendëso y me 25 në x=y+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=25+3$$

Mblidh 3 me 25.

$$x=28$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=28,y=25$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=37$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=28,y=25$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=37$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Për ta bërë x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Thjeshto.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Zbrit 4x-3y=37 nga 4x-4y=12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4y+3y=12-37$$

Mblidh -4y me 3y.

$$-y=12-37$$

Mblidh 12 me -37.

$$-y=-25$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=25$$

Zëvendëso y me 25 në 4x-3y=37. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x-3\times 25=37$$

Shumëzo -3 herë 25.

$$4x-75=37$$

Mblidh 75 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=112$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=28$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=28,y=25$$