Zgjidh {c}{x=6+y}{4y=-2x}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 6 + y } \\ { 4 y = - 2 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$4y+2x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=6$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+6$$

Zëvendëso x me y+6 në ekuacionin tjetër, 2x+4y=0.

$$2\left(y+6\right)+4y=0$$

Shumëzo 2 herë y+6.

$$2y+12+4y=0$$

Mblidh 2y me 4y.

$$6y+12=0$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6y=-12$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=y+6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2+6$$

Mblidh 6 me -2.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$4y+2x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$4y+2x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=6,2x+4y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 6,2x+4y=0$$

Thjeshto.

$$2x-2y=12,2x+4y=0$$

Zbrit 2x+4y=0 nga 2x-2y=12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x-2y-4y=12$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2y-4y=12$$

Mblidh -2y me -4y.

$$-6y=12$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në 2x+4y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+4\left(-2\right)=0$$

Shumëzo 4 herë -2.

$$2x-8=0$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-2$$