Zgjidh {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=53$$

$$y=17$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-5.

$$x-5=4y-20$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$x-5-4y=-20$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$x-4y=-20+5$$

Shto -20 dhe 5 për të marrë -15.

$$x-4y=-15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-3y=2$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3y+2$$

Zëvendëso x me 3y+2 në ekuacionin tjetër, x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

Mblidh 3y me -4y.

$$-y+2=-15$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-17$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=17$$

Zëvendëso y me 17 në x=3y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\times 17+2$$

Shumëzo 3 herë 17.

$$x=51+2$$

Mblidh 2 me 51.

$$x=53$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=53,y=17$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-5.

$$x-5=4y-20$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$x-5-4y=-20$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$x-4y=-20+5$$

Shto -20 dhe 5 për të marrë -15.

$$x-4y=-15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=53,y=17$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-3y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-5.

$$x-5=4y-20$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$x-5-4y=-20$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$x-4y=-20+5$$

Shto -20 dhe 5 për të marrë -15.

$$x-4y=-15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Zbrit x-4y=-15 nga x-3y=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y+4y=2+15$$

Mblidh -3y me 4y.

$$y=2+15$$

Mblidh 2 me 15.

$$y=17$$

Zëvendëso y me 17 në x-4y=-15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-4\times 17=-15$$

Shumëzo -4 herë 17.

$$x-68=-15$$

Mblidh 68 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=53$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=53,y=17$$