Zgjidh {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 23y nga të dyja anët.

$$2x+y-23y=0$$

Kombino y dhe -23y për të marrë -22y.

$$2x-22y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=89$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+89$$

Zëvendëso x me -y+89 në ekuacionin tjetër, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Shumëzo 2 herë -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

Mblidh -2y me -22y.

$$-24y+178=0$$

Zbrit 178 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-24y=-178$$

Pjesëto të dyja anët me -24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Zëvendëso y me \frac{89}{12} në x=-y+89. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Mblidh 89 me -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 23y nga të dyja anët.

$$2x+y-23y=0$$

Kombino y dhe -23y për të marrë -22y.

$$2x-22y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 23y nga të dyja anët.

$$2x+y-23y=0$$

Kombino y dhe -23y për të marrë -22y.

$$2x-22y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Thjeshto.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Zbrit 2x-22y=0 nga 2x+2y=178 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y+22y=178$$

Mblidh 2y me 22y.

$$24y=178$$

Pjesëto të dyja anët me 24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Zëvendëso y me \frac{89}{12} në 2x-22y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Shumëzo -22 herë \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Mblidh \frac{979}{6} në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{979}{12}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$