Zgjidh {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=500$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+500$$

Zëvendëso x me -y+500 në ekuacionin tjetër, 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

Shumëzo 50 herë -y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

Mblidh -50y me 80y.

$$30y+25000=28000$$

Zbrit 25000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$30y=3000$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$y=100$$

Zëvendëso y me 100 në x=-y+500. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-100+500$$

Mblidh 500 me -100.

$$x=400$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=400,y=100$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=400,y=100$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Për ta bërë x të barabartë me 50x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 50 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

Thjeshto.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

Zbrit 50x+80y=28000 nga 50x+50y=25000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

Mblidh 50x me -50x. Shprehjet 50x dhe -50x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$50y-80y=25000-28000$$

Mblidh 50y me -80y.

$$-30y=25000-28000$$

Mblidh 25000 me -28000.

$$-30y=-3000$$

Pjesëto të dyja anët me -30.

$$y=100$$

Zëvendëso y me 100 në 50x+80y=28000. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$50x+80\times 100=28000$$

Shumëzo 80 herë 100.

$$50x+8000=28000$$

Zbrit 8000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$50x=20000$$

Pjesëto të dyja anët me 50.

$$x=400$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=400,y=100$$