Zgjidh {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=15$$

$$y=35$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=50$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+50$$

Zëvendëso x me -y+50 në ekuacionin tjetër, 300x+200y=11500.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

Shumëzo 300 herë -y+50.

$$-300y+15000+200y=11500$$

Mblidh -300y me 200y.

$$-100y+15000=11500$$

Zbrit 15000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-100y=-3500$$

Pjesëto të dyja anët me -100.

$$y=35$$

Zëvendëso y me 35 në x=-y+50. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-35+50$$

Mblidh 50 me -35.

$$x=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=15,y=35$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=15,y=35$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Për ta bërë x të barabartë me 300x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 300 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

Thjeshto.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

Zbrit 300x+200y=11500 nga 300x+300y=15000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

Mblidh 300x me -300x. Shprehjet 300x dhe -300x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$300y-200y=15000-11500$$

Mblidh 300y me -200y.

$$100y=15000-11500$$

Mblidh 15000 me -11500.

$$100y=3500$$

Pjesëto të dyja anët me 100.

$$y=35$$

Zëvendëso y me 35 në 300x+200y=11500. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$300x+200\times 35=11500$$

Shumëzo 200 herë 35.

$$300x+7000=11500$$

Zbrit 7000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$300x=4500$$

Pjesëto të dyja anët me 300.

$$x=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=15,y=35$$