Zgjidh {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Për të gjetur të kundërtën e x-11, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$y-22-x+11=36$$

Shto -22 dhe 11 për të marrë -11.

$$y-11-x=36$$

Shto 11 në të dyja anët.

$$y-x=36+11$$

Shto 36 dhe 11 për të marrë 47.

$$y-x=47$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=122$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+122$$

Zëvendëso x me -y+122 në ekuacionin tjetër, -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

Shumëzo -1 herë -y+122.

$$y-122+y=47$$

Mblidh y me y.

$$2y-122=47$$

Mblidh 122 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=169$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{169}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{169}{2} në x=-y+122. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Mblidh 122 me -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Për të gjetur të kundërtën e x-11, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$y-22-x+11=36$$

Shto -22 dhe 11 për të marrë -11.

$$y-11-x=36$$

Shto 11 në të dyja anët.

$$y-x=36+11$$

Shto 36 dhe 11 për të marrë 47.

$$y-x=47$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Për të gjetur të kundërtën e x-11, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$y-22-x+11=36$$

Shto -22 dhe 11 për të marrë -11.

$$y-11-x=36$$

Shto 11 në të dyja anët.

$$y-x=36+11$$

Shto 36 dhe 11 për të marrë 47.

$$y-x=47$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Zbrit -x+y=47 nga x+y=122 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x+x+y-y=122-47$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+x=122-47$$

Mblidh x me x.

$$2x=122-47$$

Mblidh 122 me -47.

$$2x=75$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{75}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{75}{2} në -x+y=47. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Mblidh \frac{75}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{169}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$