Zgjidh {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$40x+60y=480$$

Zbrit 60y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$40x=-60y+480$$

Pjesëto të dyja anët me 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

Shumëzo \frac{1}{40} herë -60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{2}+12 në ekuacionin tjetër, 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

Shumëzo 30 herë -\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

Mblidh -45y me 15y.

$$-30y+360=180$$

Zbrit 360 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-30y=-180$$

Pjesëto të dyja anët me -30.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në x=-\frac{3}{2}y+12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë 6.

$$x=-9+12$$

Mblidh 12 me -9.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=6$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Për ta bërë 40x të barabartë me 30x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 30 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 40.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Thjeshto.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Zbrit 1200x+600y=7200 nga 1200x+1800y=14400 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

Mblidh 1200x me -1200x. Shprehjet 1200x dhe -1200x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$1800y-600y=14400-7200$$

Mblidh 1800y me -600y.

$$1200y=14400-7200$$

Mblidh 14400 me -7200.

$$1200y=7200$$

Pjesëto të dyja anët me 1200.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në 30x+15y=180. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$30x+15\times 6=180$$

Shumëzo 15 herë 6.

$$30x+90=180$$

Zbrit 90 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$30x=90$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=6$$