Zgjidh {c}{3x+4y=10}{x=2y}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 10 } \\ { x = 2 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+4y=10$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-4y+10$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -4y+10.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-4y+10}{3} në ekuacionin tjetër, x-2y=0.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-2y=0$$

Mblidh -\frac{4y}{3} me -2y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}=0$$

Zbrit \frac{10}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{10}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Mblidh \frac{10}{3} me -\frac{4}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-2y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Për ta bërë 3x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3x+4y=10,3x+3\left(-2\right)y=0$$

Thjeshto.

$$3x+4y=10,3x-6y=0$$

Zbrit 3x-6y=0 nga 3x+4y=10 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x+4y+6y=10$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4y+6y=10$$

Mblidh 4y me 6y.

$$10y=10$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x-2y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-2=0$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=1$$