Zgjidh {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+2y=32$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-2y+32$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-2y+32}{3} në ekuacionin tjetër, 365x+226y=267.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

Shumëzo 365 herë \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

Mblidh -\frac{730y}{3} me 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

Zbrit \frac{11680}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{52}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Zëvendëso y me \frac{27193}{130} në x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

Shumëzo -\frac{2}{3} herë \frac{27193}{130} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

Mblidh \frac{32}{3} me -\frac{27193}{195} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 365x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 365 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

Thjeshto.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

Zbrit 1095x+678y=802.8 nga 1095x+730y=11680 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

Mblidh 1095x me -1095x. Shprehjet 1095x dhe -1095x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$730y-678y=11680-802.8$$

Mblidh 730y me -678y.

$$52y=11680-802.8$$

Mblidh 11680 me -802.8.

$$52y=10877.2$$

Pjesëto të dyja anët me 52.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Zëvendëso y me \frac{27193}{130} në 365x+226y=267.6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

Shumëzo 226 herë \frac{27193}{130}.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

Zbrit \frac{3072809}{65} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 365.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$