Zgjidh {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x+3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=20$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+3y=10$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-3y+10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{2}+5 në ekuacionin tjetër, 4x-3y=20.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

Shumëzo 4 herë -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

Mblidh -6y me -3y.

$$-9y+20=20$$

Zbrit 20 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-9y=0$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=-\frac{3}{2}y+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x+3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=20$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x+3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$4x-3y=20$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

Thjeshto.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

Zbrit 8x-6y=40 nga 8x+12y=40 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

Mblidh 8x me -8x. Shprehjet 8x dhe -8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12y+6y=40-40$$

Mblidh 12y me 6y.

$$18y=40-40$$

Mblidh 40 me -40.

$$18y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në 4x-3y=20. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x=20$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=0$$