Zgjidh {c}{-11x+12y=85}{17x-14y=-5}

$$\left. \begin{array} { c } { - 11 x + 12 y = 85 } \\ { 17 x - 14 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{113}{5} = 22\frac{3}{5} = 22.6$$

$$y = \frac{139}{5} = 27\frac{4}{5} = 27.8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-11x+12y=85$$

Zbrit 12y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-11x=-12y+85$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-12y+85\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{11} herë -12y+85.

$$x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}$$

Zëvendëso x me \frac{12y-85}{11} në ekuacionin tjetër, 17x-14y=-5.

$$17\left(\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}\right)-14y=-5$$

Shumëzo 17 herë \frac{12y-85}{11}.

$$\frac{204}{11}y-\frac{1445}{11}-14y=-5$$

Mblidh \frac{204y}{11} me -14y.

$$\frac{50}{11}y-\frac{1445}{11}=-5$$

Mblidh \frac{1445}{11} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{50}{11}y=\frac{1390}{11}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{50}{11}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{139}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{139}{5} në x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{12}{11}\times \frac{139}{5}-\frac{85}{11}$$

Shumëzo \frac{12}{11} herë \frac{139}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1668}{55}-\frac{85}{11}$$

Mblidh -\frac{85}{11} me \frac{1668}{55} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{113}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{12}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\\-\frac{17}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{11}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{17}{50}&\frac{11}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 85+\frac{6}{25}\left(-5\right)\\\frac{17}{50}\times 85+\frac{11}{50}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{113}{5}\\\frac{139}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

Për ta bërë -11x të barabartë me 17x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 17 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -11.

$$17\left(-11\right)x+17\times 12y=17\times 85,-11\times 17x-11\left(-14\right)y=-11\left(-5\right)$$

Thjeshto.

$$-187x+204y=1445,-187x+154y=55$$

Zbrit -187x+154y=55 nga -187x+204y=1445 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-187x+187x+204y-154y=1445-55$$

Mblidh -187x me 187x. Shprehjet -187x dhe 187x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$204y-154y=1445-55$$

Mblidh 204y me -154y.

$$50y=1445-55$$

Mblidh 1445 me -55.

$$50y=1390$$

Pjesëto të dyja anët me 50.

$$y=\frac{139}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{139}{5} në 17x-14y=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$17x-14\times \frac{139}{5}=-5$$

Shumëzo -14 herë \frac{139}{5}.

$$17x-\frac{1946}{5}=-5$$

Mblidh \frac{1946}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$17x=\frac{1921}{5}$$

Pjesëto të dyja anët me 17.

$$x=\frac{113}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$