Zgjidh {c}{(16.5*4)+6.5L+8.5C=12(L+C+4)}{L+C=4}

$$\left. \begin{array} { c } { ( 16.5 \times 4 ) + 6.5 L + 8.5 C = 12 ( L + C + 4 ) } \\ { L + C = 4 } \end{array} \right.$$

Gjej L, C

$$L=2$$

$$C=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo 16.5 me 4 për të marrë 66.

$$66+6.5L+8.5C=12\left(L+C+4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 12 me L+C+4.

$$66+6.5L+8.5C=12L+12C+48$$

Zbrit 12L nga të dyja anët.

$$66+6.5L+8.5C-12L=12C+48$$

Kombino 6.5L dhe -12L për të marrë -5.5L.

$$66-5.5L+8.5C=12C+48$$

Zbrit 12C nga të dyja anët.

$$66-5.5L+8.5C-12C=48$$

Kombino 8.5C dhe -12C për të marrë -3.5C.

$$66-5.5L-3.5C=48$$

Zbrit 66 nga të dyja anët.

$$-5.5L-3.5C=48-66$$

Zbrit 66 nga 48 për të marrë -18.

$$-5.5L-3.5C=-18$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-5.5L-3.5C=-18,L+C=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej L duke veçuar L në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-5.5L-3.5C=-18$$

Mblidh \frac{7C}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-5.5L=3.5C-18$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -5.5, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$L=-\frac{2}{11}\left(3.5C-18\right)$$

Shumëzo -\frac{2}{11} herë \frac{7C}{2}-18.

$$L=-\frac{7}{11}C+\frac{36}{11}$$

Zëvendëso L me \frac{-7C+36}{11} në ekuacionin tjetër, L+C=4.

$$-\frac{7}{11}C+\frac{36}{11}+C=4$$

Mblidh -\frac{7C}{11} me C.

$$\frac{4}{11}C+\frac{36}{11}=4$$

Zbrit \frac{36}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{4}{11}C=\frac{8}{11}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{4}{11}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$C=2$$

Zëvendëso C me 2 në L=-\frac{7}{11}C+\frac{36}{11}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh L menjëherë.

$$L=-\frac{7}{11}\times 2+\frac{36}{11}$$

Shumëzo -\frac{7}{11} herë 2.

$$L=\frac{-14+36}{11}$$

Mblidh \frac{36}{11} me -\frac{14}{11} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$L=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$L=2,C=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo 16.5 me 4 për të marrë 66.

$$66+6.5L+8.5C=12\left(L+C+4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 12 me L+C+4.

$$66+6.5L+8.5C=12L+12C+48$$

Zbrit 12L nga të dyja anët.

$$66+6.5L+8.5C-12L=12C+48$$

Kombino 6.5L dhe -12L për të marrë -5.5L.

$$66-5.5L+8.5C=12C+48$$

Zbrit 12C nga të dyja anët.

$$66-5.5L+8.5C-12C=48$$

Kombino 8.5C dhe -12C për të marrë -3.5C.

$$66-5.5L-3.5C=48$$

Zbrit 66 nga të dyja anët.

$$-5.5L-3.5C=48-66$$

Zbrit 66 nga 48 për të marrë -18.

$$-5.5L-3.5C=-18$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-5.5L-3.5C=-18,L+C=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-5.5&-3.5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-5.5&-3.5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5.5&-3.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5.5&-3.5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5.5&-3.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5.5&-3.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5.5&-3.5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-5.5-\left(-3.5\right)}&-\frac{-3.5}{-5.5-\left(-3.5\right)}\\-\frac{1}{-5.5-\left(-3.5\right)}&-\frac{5.5}{-5.5-\left(-3.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{7}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{11}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-18\right)-\frac{7}{4}\times 4\\\frac{1}{2}\left(-18\right)+\frac{11}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}L\\C\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës L dhe C.

$$L=2,C=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo 16.5 me 4 për të marrë 66.

$$66+6.5L+8.5C=12\left(L+C+4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 12 me L+C+4.

$$66+6.5L+8.5C=12L+12C+48$$

Zbrit 12L nga të dyja anët.

$$66+6.5L+8.5C-12L=12C+48$$

Kombino 6.5L dhe -12L për të marrë -5.5L.

$$66-5.5L+8.5C=12C+48$$

Zbrit 12C nga të dyja anët.

$$66-5.5L+8.5C-12C=48$$

Kombino 8.5C dhe -12C për të marrë -3.5C.

$$66-5.5L-3.5C=48$$

Zbrit 66 nga të dyja anët.

$$-5.5L-3.5C=48-66$$

Zbrit 66 nga 48 për të marrë -18.

$$-5.5L-3.5C=-18$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-5.5L-3.5C=-18,L+C=4$$

Për ta bërë -\frac{11L}{2} të barabartë me L, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -5.5.

$$-5.5L-3.5C=-18,-5.5L-5.5C=-5.5\times 4$$

Thjeshto.

$$-5.5L-3.5C=-18,-5.5L-5.5C=-22$$

Zbrit -5.5L-5.5C=-22 nga -5.5L-3.5C=-18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-5.5L+5.5L-3.5C+5.5C=-18+22$$

Mblidh -\frac{11L}{2} me \frac{11L}{2}. Shprehjet -\frac{11L}{2} dhe \frac{11L}{2} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3.5C+5.5C=-18+22$$

Mblidh -\frac{7C}{2} me \frac{11C}{2}.

$$2C=-18+22$$

Mblidh -18 me 22.

$$2C=4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$C=2$$

Zëvendëso C me 2 në L+C=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh L menjëherë.

$$L+2=4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$L=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$L=2,C=2$$