Zgjidh {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=12$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$-x-2y-3y=-2$$

Kombino -2y dhe -3y për të marrë -5y.

$$-x-5y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x+3y=18$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-x-5y=-2$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=5y-2$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

Shumëzo -1 herë 5y-2.

$$x=-5y+2$$

Zëvendëso x me -5y+2 në ekuacionin tjetër, 2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

Shumëzo 2 herë -5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

Mblidh -10y me 3y.

$$-7y+4=18$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7y=14$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=-5y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

Shumëzo -5 herë -2.

$$x=10+2$$

Mblidh 2 me 10.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$-x-2y-3y=-2$$

Kombino -2y dhe -3y për të marrë -5y.

$$-x-5y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x+3y=18$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=12,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$-x-2y-3y=-2$$

Kombino -2y dhe -3y për të marrë -5y.

$$-x-5y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x+3y=18$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Për ta bërë -x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

Thjeshto.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

Zbrit -2x-3y=-18 nga -2x-10y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-10y+3y=-4+18$$

Mblidh -10y me 3y.

$$-7y=-4+18$$

Mblidh -4 me 18.

$$-7y=14$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në 2x+3y=18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

Shumëzo 3 herë -2.

$$2x-6=18$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=24$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=-2$$