Zgjidh {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Kombino 60y dhe -40y për të marrë 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Zbrit 12x nga të dyja anët.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Kombino 9x dhe -12x për të marrë -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Zbrit 16y nga të dyja anët.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Kombino 20y dhe -16y për të marrë 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Shto 5 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$-3x+4y=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+3y=10$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-3y+10$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} në ekuacionin tjetër, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

Shumëzo -3 herë -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

Mblidh \frac{9y}{4} me 4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Mblidh \frac{15}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{25}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Shumëzo -\frac{3}{4} herë 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Mblidh \frac{5}{2} me -\frac{3}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Kombino 60y dhe -40y për të marrë 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Zbrit 12x nga të dyja anët.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Kombino 9x dhe -12x për të marrë -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Zbrit 16y nga të dyja anët.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Kombino 20y dhe -16y për të marrë 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Shto 5 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$-3x+4y=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Kombino 60y dhe -40y për të marrë 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Zbrit 12x nga të dyja anët.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Kombino 9x dhe -12x për të marrë -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Zbrit 16y nga të dyja anët.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Kombino 20y dhe -16y për të marrë 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Shto 5 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$-3x+4y=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Për ta bërë 4x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Thjeshto.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Zbrit -12x+16y=20 nga -12x-9y=-30 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

Mblidh -12x me 12x. Shprehjet -12x dhe 12x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y-16y=-30-20$$

Mblidh -9y me -16y.

$$-25y=-30-20$$

Mblidh -30 me -20.

$$-25y=-50$$

Pjesëto të dyja anët me -25.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në -3x+4y=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+4\times 2=5$$

Shumëzo 4 herë 2.

$$-3x+8=5$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=2$$