Zgjidh {r}{x+y=16}{y=7x}

$$\left\{ \begin{array} { r } { x + y = 16 } \\ { y = 7 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=14$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=16,-7x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=16$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+16$$

Zëvendëso x me -y+16 në ekuacionin tjetër, -7x+y=0.

$$-7\left(-y+16\right)+y=0$$

Shumëzo -7 herë -y+16.

$$7y-112+y=0$$

Mblidh 7y me y.

$$8y-112=0$$

Mblidh 112 në të dyja anët e ekuacionit.

$$8y=112$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$y=14$$

Zëvendëso y me 14 në x=-y+16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-14+16$$

Mblidh 16 me -14.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=14$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=16,-7x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\right)}&-\frac{1}{1-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{1-\left(-7\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 16\\\frac{7}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=14$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=16,-7x+y=0$$

Zbrit -7x+y=0 nga x+y=16 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x+7x+y-y=16$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+7x=16$$

Mblidh x me 7x.

$$8x=16$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në -7x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-7\times 2+y=0$$

Shumëzo -7 herë 2.

$$-14+y=0$$

Mblidh 14 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=14$$