Zgjidh {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Kombino -2y dhe 12y për të marrë 10y.

$$3x+10y=13$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Shumëzo -3 me 3 për të marrë -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Kombino 4x dhe -9x për të marrë -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+10y=13$$

Zbrit 10y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-10y+13$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -10y+13.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-10y+13}{3} në ekuacionin tjetër, -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

Shumëzo -5 herë \frac{-10y+13}{3}.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

Mblidh \frac{50y}{3} me -8y.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

Mblidh \frac{65}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{26}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

Mblidh \frac{13}{3} me -\frac{10}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Kombino -2y dhe 12y për të marrë 10y.

$$3x+10y=13$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Shumëzo -3 me 3 për të marrë -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Kombino 4x dhe -9x për të marrë -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Kombino -2y dhe 12y për të marrë 10y.

$$3x+10y=13$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Shumëzo -3 me 3 për të marrë -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Kombino 4x dhe -9x për të marrë -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

Thjeshto.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

Zbrit -15x-24y=-39 nga -15x-50y=-65 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

Mblidh -15x me 15x. Shprehjet -15x dhe 15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-50y+24y=-65+39$$

Mblidh -50y me 24y.

$$-26y=-65+39$$

Mblidh -65 me 39.

$$-26y=-26$$

Pjesëto të dyja anët me -26.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -5x-8y=-13. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-5x-8=-13$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$