Zgjidh {r}{2x-1/2+y-3/3=11/6}{-2x/5+frac{y-1}{10}=-frac{6}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3,6.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-1.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-3.

$$6x-3+2y-6=11$$

Zbrit 6 nga -3 për të marrë -9.

$$6x-9+2y=11$$

Shto 9 në të dyja anët.

$$6x+2y=11+9$$

Shto 11 dhe 9 për të marrë 20.

$$6x+2y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

Shumëzo -2 me 2 për të marrë -4.

$$-4x+y-1=-12$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-4x+y=-12+1$$

Shto -12 dhe 1 për të marrë -11.

$$-4x+y=-11$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x+2y=20$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=-2y+20$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë -2y+20.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+10}{3} në ekuacionin tjetër, -4x+y=-11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11$$

Shumëzo -4 herë \frac{-y+10}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11$$

Mblidh \frac{4y}{3} me y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11$$

Mblidh \frac{40}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

Mblidh \frac{10}{3} me -\frac{1}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3,6.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-1.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-3.

$$6x-3+2y-6=11$$

Zbrit 6 nga -3 për të marrë -9.

$$6x-9+2y=11$$

Shto 9 në të dyja anët.

$$6x+2y=11+9$$

Shto 11 dhe 9 për të marrë 20.

$$6x+2y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

Shumëzo -2 me 2 për të marrë -4.

$$-4x+y-1=-12$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-4x+y=-12+1$$

Shto -12 dhe 1 për të marrë -11.

$$-4x+y=-11$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3,6.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-1.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-3.

$$6x-3+2y-6=11$$

Zbrit 6 nga -3 për të marrë -9.

$$6x-9+2y=11$$

Shto 9 në të dyja anët.

$$6x+2y=11+9$$

Shto 11 dhe 9 për të marrë 20.

$$6x+2y=20$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,10.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

Shumëzo -2 me 2 për të marrë -4.

$$-4x+y-1=-12$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-4x+y=-12+1$$

Shto -12 dhe 1 për të marrë -11.

$$-4x+y=-11$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Për ta bërë 6x të barabartë me -4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)$$

Thjeshto.

$$-24x-8y=-80,-24x+6y=-66$$

Zbrit -24x+6y=-66 nga -24x-8y=-80 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-24x+24x-8y-6y=-80+66$$

Mblidh -24x me 24x. Shprehjet -24x dhe 24x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8y-6y=-80+66$$

Mblidh -8y me -6y.

$$-14y=-80+66$$

Mblidh -80 me 66.

$$-14y=-14$$

Pjesëto të dyja anët me -14.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -4x+y=-11. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-4x+1=-11$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=-12$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=1$$