Zgjidh {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit kx nga të dyja anët.

$$y-kx=b$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

Gjej y në y+\left(-k\right)x=b duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

Zbrit \left(-k\right)x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=kx+b$$

Zëvendëso y me kx+b në ekuacionin tjetër, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

Ngri në fuqi të dytë kx+b.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

Shumëzo 4 herë k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

Mblidh x^{2} me 4k^{2}x^{2}.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1+4k^{2}, b me 4\times 2kb dhe c me -4+4b^{2} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 4\times 2kb.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Shumëzo -4 herë 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Shumëzo -4-16k^{2} herë -4+4b^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Mblidh 64k^{2}b^{2} me -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right).

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të -16b^{2}+64k^{2}+16.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Shumëzo 2 herë 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} kur ± është plus. Mblidh -8kb me 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

Pjesëto -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} me 2+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} kur ± është minus. Zbrit 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} nga -8kb.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

Pjesëto -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} me 2+8k^{2}.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për x: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} dhe -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. Zëvendëso x me \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} në ekuacionin y=kx+b për të gjetur zgjidhjen përkatëse për y që vërteton të dyja ekuacionet.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

Shumëzo k herë \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

Tani zëvendëso x me -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} në ekuacionin y=kx+b dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për y që vërteton të dyja ekuacionet.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

Shumëzo k herë -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$