Zgjidh {l}{y=kx+2}{y=2x+k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + 2 } \\ { y = 2 x + k } \end{array} \right.$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit kx nga të dyja anët.

$$y-kx=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=k$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Mblidh kx në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=kx+2$$

Zëvendëso y me kx+2 në ekuacionin tjetër, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Mblidh kx me -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Pjesëto të dyja anët me k-2.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=kx+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=k+2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=k+2,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit kx nga të dyja anët.

$$y-kx=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=k$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=k+2,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit kx nga të dyja anët.

$$y-kx=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=k$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Zbrit y-2x=k nga y+\left(-k\right)x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Mblidh -kx me 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Pjesëto të dyja anët me -k+2.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y-2x=k. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2=k$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=k+2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=k+2,x=1$$

Gjej x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit kx nga të dyja anët.

$$y-kx=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=k$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Mblidh kx në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=kx+2$$

Zëvendëso y me kx+2 në ekuacionin tjetër, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Mblidh kx me -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Pjesëto të dyja anët me k-2.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=kx+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=k+2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=k+2,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit kx nga të dyja anët.

$$y-kx=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=k$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=k+2,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit kx nga të dyja anët.

$$y-kx=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=k$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Zbrit y-2x=k nga y+\left(-k\right)x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Mblidh -kx me 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Pjesëto të dyja anët me -k+2.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y-2x=k. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2=k$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=k+2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=k+2,x=1$$